Školjka

%V0 Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

%V0 Postoji li rješenje jednadžbe $$\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor + \lfloor 16x \rfloor + \lfloor 32x \rfloor = 12345?$$ ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac1\alpha + \frac1\beta = 1$, te $A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$ i $B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$. Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definiranu sa $$\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Neka su $a$ i $m$ prirodni brojevi, $p$ neparan prost broj, takav da $p^m \mid a - 1$ i $p^{m+1} \nmid a - 1$. Dokažite da $a)$ $p^{m+n} \mid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$, $b)$ $p^{m+n+1} \nmid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Na koliko načina se broj $\displaystyle \frac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\displaystyle \frac{n+1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.