Školjka

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_0 = 3$ $a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$. a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi. b) Odredite $a_{2007}$.

%V0 Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$. a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$). b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

%V0 Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A, B, C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \longleftrightarrow B, B \longleftrightarrow C, C \longleftrightarrow D, D \longleftrightarrow A$).