Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ i bilo koji nenegativan pozitivan broj $p$ vrijedi nejednakost $$a^{p+2} + b^{p+2} + c^{p+2} \geqslant a^pbc + b^pca + c^pab \text{.}$$

%V0 U Kartezijevoj koordinatnoj ravnini skicirajte skup točaka $(x,y)$ koje zadovoljavaju uvjet $$ ||x|+|y|-2|\geq 1. $$

%V0 Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a>b$ i $ab=1$. Dokaži da tada vrijedi nejednakost $\dfrac{a-b}{a^2+b^2} \leq \dfrac{\sqrt{2}}4$. Ako vrijedi jednakost, koliko je $a+b$?

%V0 Dokaži da za svaki realan broj $x$, $x>-1$, vrijedi nejednakost $$ \dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{1+x^5}\leq 2. $$

%V0 Dokaži da za sve $x,y>0$ vrijedi nejednakost $$ x^4+y^3+x^2+y+1>\dfrac 92 xy. $$