Školjka

%V0 Nad hipotenuzom $\overline{AB}$ i katetama $\overline{BC}, \overline{CA}$ pravokutnog trokuta $ABC$ konstruirani su s vanjske strane kvadrati $ABDE$, $BCFG$, $CAHK$. Neka je $L$ sjecište pravaca $FG$ i $HK$ i neka su $M$, $N$, $P$ točke simetrične točkama $G$, $H$, $L$ s obzirom na pravac $AB$. Dokažite da točke $D$, $E$, $C$ leže na pravcima $MP$, $NP$, $LP$ i da su trokuti $ABC$, $CLK$, $LCF$, $AEN$, $EDP$, $DBM$ sukladni. Iscrtkajte te trokute! U kojem su odnosu peterokuti $ABGLH$ i $ABMPN$? Što zaključujete promatranjem neiscrtkanih dijelova tih peterokuta?

%V0 U pravokutnom trokutu $ABC$ točka $K$ je polovište hipotenuze $\overline{AB}.$ Točka $M$ je na stranici $\overline{AC}$ tako da je $|AM| = 2|MC|.$ Dokažite da je $\angle{MBA} = \angle{MKC}.$

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ ortocentar raspolavlja visinu povučenu iz vrha $A,$ dok visinu povučenu iz vrha $B$ dijeli u omjeru $2:1$, tako da je ortocentar bliži nožištu visine nego vrhu. U kojem omjeru ortocentar dijeli visinu iz vrha $C$?

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$ |AC|^2+|BC|^2=4R^2, $$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

%V0 Duljine stranica pravokutnika odnose se kao $12:5$. Dijagonale pravokutnika dijele ga na četiri trokuta. Dvama od njih, koji imaju zajedničku stranicu, upisane su kružnice polumjera $r_1$ i $r_2$. Izračunaj omjer $r_1:r_2$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?