Školjka

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=b-\dfrac{r}{4}$, $b$, $c=b+\dfrac{r}{4}$, gdje je $r$ polumjer tom trokutu upisane kružnice. Izrazite duljine stranica trokuta u ovisnosti od $r$.

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$ |AC|^2+|BC|^2=4R^2, $$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 U jednakokračnom trapezu srednjica je duljine $l$, a dijagonale su međusobno okomite. Odredi površinu trapeza.

%V0 Iz vrha $A$ paralelograma $ABCD$ spuštene su okomice $AM$ i $AN$ na pravce $BC$ i $CD$. Dokažite da su trokuti $ABC$ i $MAN$ slični.

%V0 U paralelogramu $ABCD$ točke $P$, $Q$, $R$, $S$ polovišta su stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$ (tim redom). Pravci $AR$, $BS$, $CP$, $DQ$ sijeku se i formiraju četverokut. $a)$ Dokaži da je taj četverokut paralelogram. $b)$ Nađi omjer površina tog i početnog paralelograma.