Školjka

%V0 Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

%V0 Niz znamenaka $1$, $2$, $3$, $4$, $0$, $9$, $6$, $9$, $4$, $8$, $7$, ... konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke. a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2$, $0$, $0$, $4$, tim redom? b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1$, $2$, $3$, $4$, tim redom?

%V0 a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom. b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$.

%V0 Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom slijeva nadesno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

%V0 Na $n$ kartica napisane su rečenice: [i]Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno.[/i], za $k=0,\,1,\,2,\,\ldots,\,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

%V0 Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici. $$$\setlength{\unitlength}{25pt} \begin{center} \begin{picture}(4.2, 4.2) \multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}} \multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}} \put(1, 0){\line(1, 1){3}} \put(1, 0){\line(-1, 1){1}} \put(3, 0){\line(1, 1){1}} \put(3, 0){\line(-1, 1){3}} \put(1, 4){\line(1, -1){3}} \put(1, 4){\line(-1, -1){1}} \put(3, 4){\line(1, -1){1}} \put(3, 4){\line(-1, -1){3}} \multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \end{picture} \end{center}$$$ Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$. Kažemo da je prirodni broj $n$ [i]dohvatljiv[/i] ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$. a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv. b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.