Školjka

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=b-\dfrac{r}{4}$, $b$, $c=b+\dfrac{r}{4}$, gdje je $r$ polumjer tom trokutu upisane kružnice. Izrazite duljine stranica trokuta u ovisnosti od $r$.

%V0 Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$ odabrane su redom točke $E$ i $F$ takve da je $EF\parallel BD$. Dokažite da trokuti $BCE$ i $CDF$ imaju jednake površine.

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$ |AC|^2+|BC|^2=4R^2, $$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

%V0 U krugu sa središtem u točki $S$, polumjera $r=2$ cm, povučena su dva polumjera $\overline{SA}$ i $\overline{SB}$. Kut između njih je $45^{\circ}$. Neka je $K$ sjecište pravca $AB$ i okomice povučene na pravac $AS$ u točki $S$, a točka $L$ je nožište visine trokuta $ABS$ povučene iz vrha $B$. Izračunaj površinu trapeza $SKBL$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Trapez $ABCD$ ima pravi kut pri vrhu $B$, a dijagonala $\overline{BD}$ je okomita na krak ${AD}$. Duljina kraka $\overline{BC}$ je $5$ cm, a duljina dijagonale $\overline{BD}$ je $13$ cm. Izračunaj površinu trapeza $ABCD$.