Školjka

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=b-\dfrac{r}{4}$, $b$, $c=b+\dfrac{r}{4}$, gdje je $r$ polumjer tom trokutu upisane kružnice. Izrazite duljine stranica trokuta u ovisnosti od $r$.

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Pomoću ravnala i šestara konstruirajte pravokutni trokut kojemu je zadana duljina visine na hipotenuzu i polumjer upisane kružnice.

%V0 Trokutu $ABC$ upisana je kružnica polumjera $r$ sa središtem u točki $S$. Pravac kroz točku $S$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $D$ i $E$. Dokažite da za površinu $P$ trokuta $CED$ vrijedi $P\geq 2r^2$. Kada vrijedi jednakost?

%V0 Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a veličine kutova nasuprot stranica duljina $b$ i $c$ su $\beta =50^\circ $ i $\gamma=100^\circ $. Dokaži jednakost $$ ab=c^2-b^2. $$

%V0 Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$.