Slični zadaci

Neka je $P$ polinom s cjelobrojnim koeficijentima takav da je $P(5)=2005$ . Može li broj $P(2005)$ biti potpun kvadrat (kvadrat prirodnog broja)?

Zadaci

Dokažite da ne postoji polinom $p$ s cjelobrojnim koeficijentima takav da je $p(1)=4$ i $p(4)=9$ .

Dokaži da je za svaku četvorku prirodnih brojeva $a$ , $b$ , $c$ , $d$ broj $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ djeljiv s $12$ .

Ako se dvoznamenkastom broju pribroji umnožak njegovih znamenaka, dobije se kvadrat zbroja tih znamenaka. Odredi sve takve brojeve.

Ako je zbroj kvadrata triju prostih brojeva $a$ , $b$ , $c$ prost broj, dokaži da je barem jedan od brojeva $a$ , $b$ , $c$ jednak $3$ .

Odredi sve proste brojeve $p$ za koje je $2^p+p^2$ također prost broj.

Duljine svih stranica i dijagonala pravokutnika su prirodni brojevi. Dokaži da je njegova površina prirodan broj djeljiv s $12$ .