Školjka

%V0 Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1, 1)$ po sljedećim pravilima: $(i)$ iz točke $(a, b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a, b)$, odnosno $(a, 2b)$; $(ii)$ ako je $a > b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a - b, b)$, a ako je $a < b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a, b - a)$. Može li žaba stići u točku $(a)$ $(24, 40)$, $(b)$ $(40, 60)$, $(c)$ $(24, 60)$, $(d)$ $(200, 4)$?

%V0 U svako polje tablice $m \times n$ ($m,\,n \in \mathbb{N}$) upisano je slovo $A$ ili $B$. Pritom nikoja dva susjedna polja (sa zajedničkom stranicom) ne sadrže isto slovo. U jednom koraku biraju se dva susjedna polja, i oba slova na tim poljima zamijene se novim slovima po sljedećem pravilu: - umjesto slova $A$ upisuje se slovo $B$ - umjesto slova $B$ upisuje se slovo $C$ - umjesto slova $C$ upisuje se slovo $A$. Za koje $m$ i $n$ nakon konačno mnogo koraka možemo postići da u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $A$ sada piše slovo $B$, a u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $B$ sada piše slovo $A$?

%V0 Na dvije suprotne strane kockice nalazi se po jedna točka, na druge dvije suprotne strane po dvije i na preostale dvije po tri točke. Od osam takvih kockica napravljena je kocka $2\times 2\times 2$, te se prebroji koliko točaka ima na svakoj strani. Može li se na taj način dobiti šest uzastopnih prirodnih brojeva?

%V0 U $20$ posuda (od kojih svaka ima barem $210$ litara) nalazi se redom $1, 2, 3, \dots, 20$ litara vode. Iz posude $A$ u posudu $B$ dozvoljeno je preliti točno onoliko vode koliko već ima u posudi $B$ (uz pretpostavku da u posudi $A$ ima barem toliko vode koliko u $B$). Da li je moguće nakon konačno prelijevanja dobiti: $a)$ $5$ posuda s po $3$ litre vode, a u preostalih $15$ posuda po $6, 7, \dots, 20$ litara; $b)$ svih $210$ litara vode u jednoj posudi?

%V0 Kvadratna ploča podijeljena je na $5\times 5$ jediničnih kvadrata (polja). Na nju postavljamo osam triomina, tako da samo jedno polje ploče ostane nepokriveno. [i]Triomino[/i] je lik sastavljen od tri jedinična kvadrata kao na slici: [img attachment=2 width=50px] Odredi koja sve polja dane kvadratne ploče mogu ostati nepokrivena pri takvom popločavanju.

%V0 Dokaži da u skupu od devet prirodnih brojeva, od kojih ni jedan nema prostog djelitelja većeg od $6$, postoje dva broja čiji je umnožak potpun kvadrat (kvadrat nekog prirodnog broja).