Školjka

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Pomoću ravnala i šestara konstruirajte pravokutni trokut kojemu je zadana duljina visine na hipotenuzu i polumjer upisane kružnice.

%V0 $a)$ Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja redom dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ u točkama $D$, $E$, $F$. Dokažite da se pravci $\;AD,\;BE,\;CF\;$ sijeku u istoj točki $P$. $b)$ Dokažite da nijedan od kutova $\angle APB$, $\angle BPC$, $\angle CPA$ nije pravi.

%V0 Trokutu $ABC$ upisana je kružnica polumjera $r$ sa središtem u točki $S$. Pravac kroz točku $S$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $D$ i $E$. Dokažite da za površinu $P$ trokuta $CED$ vrijedi $P\geq 2r^2$. Kada vrijedi jednakost?

%V0 Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a veličine kutova nasuprot stranica duljina $b$ i $c$ su $\beta =50^\circ $ i $\gamma=100^\circ $. Dokaži jednakost $$ ab=c^2-b^2. $$

%V0 Neka su $A'$, $B'$, $C'$ točke u kojima simetrale kutova trokuta $ABC$ sijeku nasuprotne stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom i neka je $S$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako je $|AS| : |SA'| = 3 : 2$, $|BS| : |SB'| = 4 : 3$ i ako je $|AB|=12$, odredi duljine ostalih stranica trokuta.