Školjka

%V0 Prijateljice Anica i Neda igraju igru tako da u svakom potezu, nakon što jedna od njih kaže broj $n$, druga mora reći neki broj oblika $a\cdot b$ pri čemu su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $a+b=n$. Igra se zatim nastavlja na isti način, od upravo izrečenog broja. S kojim je sve brojevima mogla započeti igra ako je nakon određenog vremena jedna od njih rekla broj $2011$?

%V0 Na dvije suprotne strane kockice nalazi se po jedna točka, na druge dvije suprotne strane po dvije i na preostale dvije po tri točke. Od osam takvih kockica napravljena je kocka $2\times 2\times 2$, te se prebroji koliko točaka ima na svakoj strani. Može li se na taj način dobiti šest uzastopnih prirodnih brojeva?

%V0 U $20$ posuda (od kojih svaka ima barem $210$ litara) nalazi se redom $1, 2, 3, \dots, 20$ litara vode. Iz posude $A$ u posudu $B$ dozvoljeno je preliti točno onoliko vode koliko već ima u posudi $B$ (uz pretpostavku da u posudi $A$ ima barem toliko vode koliko u $B$). Da li je moguće nakon konačno prelijevanja dobiti: $a)$ $5$ posuda s po $3$ litre vode, a u preostalih $15$ posuda po $6, 7, \dots, 20$ litara; $b)$ svih $210$ litara vode u jednoj posudi?

%V0 Dano je $99$ (ne nužno različitih) prirodnih brojeva manjih od $100$. Ako zbroj nikoja dva, tri ili više od tih brojeva nije djeljiv sa $100$, dokažite da su svi oni međusobno jednaki.

%V0 Tri skakavca sjede u tri vrha kvadrata. Svake minute jedan od njih preskoči nekog od preostala dva te se smjesti u točku simetričnu onoj iz koje je skočio u odnosu na skakavca kojeg je preskočio. Može li barem jedan od njih nakon konačno mnogo takvih skokova stići u četvrti vrh kvadrata?

%V0 Kvadratna ploča podijeljena je na $5\times 5$ jediničnih kvadrata (polja). Na nju postavljamo osam triomina, tako da samo jedno polje ploče ostane nepokriveno. [i]Triomino[/i] je lik sastavljen od tri jedinična kvadrata kao na slici: [img attachment=2 width=50px] Odredi koja sve polja dane kvadratne ploče mogu ostati nepokrivena pri takvom popločavanju.