Školjka

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.

%V0 Ravnina siječe bočne bridove $\overline{SA}$, $\overline{SB}$, $\overline{SC}$ i $\overline{SD}$ pravilne četverostrane piramide u točkama $M$, $N$, $P$ i $Q$, tim redom. Dokažite da je $$ \frac{1}{|\overrightarrow {SM}|} + \frac{1}{|\overrightarrow {SP}|} = \frac{1}{|\overrightarrow {SN}|} + \frac{1}{|\overrightarrow {SQ}|}. $$

%V0 U pravilnoj trostranoj piramidi kut nagiba bočnog brida prema ravnini baze jednak je plošnom kutu uz vrh piramide. Odredite volumen piramide ako je duljina brida baze jednaka $a$.

%V0 Na strani $ABC$ trostrane piramide $ABCD$ dana je točka $O$, kroz koju su povučene dužine $\overline{OA_1}$, $\overline{OB_1}$ i $\overline{OC_1}$, paralelno s bridovima $\overline{DA}$, $\overline{DB}$ i $\overline{DC}$, do presjeka $A_1$, $B_1$, $C_1$ sa stranama piramide. Dokažite da je $$ \dfrac{|OA_1|}{|DA|}+\dfrac{|OB_1|}{|DB|}+\dfrac{|OC_1|}{|DC|}=1. $$

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Neka je $R$ polumjer kugle opisane oko pravilne četverostrane piramide, a $r$ polumjer kugle upisane u tu piramidu. Dokaži da je $$ \dfrac{R}{r}\geq\sqrt{2}+1. $$