Školjka

%V0 Neka su $x,y,z,a,b,c$ cijeli brojevi za koje vrijedi:$$$\begin{align*} x^2+y^2&=a^2\text{,} \\ x^2+z^2&=b^2\text{,} \\ y^2+z^2&=c^2\text{.} \\ \end{align*}$$$ Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s $(a)$ $5$, $(b)$ $55$.

%V0 Neka je $\{p,r,s,t\}=\{4,8,12,16\}$. Promatrajući sve moguće izbore brojeva $p$, $r$, $s$, $t$, nađite sva rješenja $(x,y,z)$ sustava jednadžbi: $$ \begin{array}{lcr} x+y+z &=& p\\ x+y-z &=& r\\ x-y+z &=& s\\ x-y-z &=& t. \end{array} $$

%V0 Realni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju ove jednakosti: $$ a^3-3ab^2=44,\quad b^3-3a^2b=8. $$ Koliko je $a^2+b^2$?

%V0 Naći sva rješenja sustava $$\sin x \cos y = A$$ $$\cos x \sin y = B$$ $x, y \in [-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}].$ Diskusija!

%V0 Riješite u skupu kompleksnih brojeva sustav jednadžbi $$$ \begin{align*} x(x-y)(x-z)&=3, \\ y(y-x)(y-z)&=3, \\ z(z-x)(z-y)&=3. \end{align*}$$$

%V0 U skupu realnih brojeva riješi sustav jednadžbi $$$ \begin{align*} x^{2006}+y^{2006}+z^{2006}&=2, \\ x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}&=2, \\ x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}&=2. \end{align*}$$$