Školjka

%V0 Kut između visine pravilne četverostrane piramide i pobočke je $\delta=30^{\circ }$. Promatrajte ravninu koja sadrži jedan brid osnovice i okomita je na nasuprotnu pobočku. Nađite omjer volumena dijelova na koje ta ravnina dijeli piramidu.

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 Ravnina siječe bočne bridove $\overline{SA}$, $\overline{SB}$, $\overline{SC}$ i $\overline{SD}$ pravilne četverostrane piramide u točkama $M$, $N$, $P$ i $Q$, tim redom. Dokažite da je $$ \frac{1}{|\overrightarrow {SM}|} + \frac{1}{|\overrightarrow {SP}|} = \frac{1}{|\overrightarrow {SN}|} + \frac{1}{|\overrightarrow {SQ}|}. $$

%V0 U pravilnoj trostranoj piramidi kut nagiba bočnog brida prema ravnini baze jednak je plošnom kutu uz vrh piramide. Odredite volumen piramide ako je duljina brida baze jednaka $a$.

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Neka je $R$ polumjer kugle opisane oko pravilne četverostrane piramide, a $r$ polumjer kugle upisane u tu piramidu. Dokaži da je $$ \dfrac{R}{r}\geq\sqrt{2}+1. $$