Školjka

%V0 Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_2}{a_3\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_n}{a_1\left(a_n+a_1\right)} = \frac{a_2}{a_1\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_3}{a_2\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_1}{a_n\left(a_n+a_1\right)} \text{.}$$

%V0 Nađite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} - 2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}} + 3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}} = 4 \text{.}$$

%V0 Zadani su realni brojevi $a<b<c<d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p$, $q$, $r$, $s$ za koje je $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{p,\,q,\,r,\,s\}$, a vrijednost izraza $$(p-q)^2+(q-r)^2+(r-s)^2+(s-p)^2$$ je najmanja.

%V0 Što je veće $$A = \frac{2.00\ldots004}{(1.00\ldots004)^2 + 2.00\ldots004} \,\,\,\, \text{ili} \,\,\,\, B = \frac{2.00\ldots002}{(1.00\ldots002)^2 + 2.00\ldots002}\text{,}$$ gdje u svakom broju u brojniku i nazivniku ima po $1998$ nula?

%V0 Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi $$$\begin{align*} x^2 - y^2 &= 2 \left( xz + yz + x + y \right)\\ y^2 - z^2 &= 2 \left( yx + zx + y + z \right)\\ z^2 - x^2 &= 2 \left( zy + xy + z + x \right) \text{.} \end{align*}$$$

%V0 Nađite realna rješenja sustava jednadžbi: $$$\begin{gather*} x + y + z = 2\\ \left(x + y\right)\left(y + z\right) + \left(y + z\right)\left(z + x\right) + \left(z + x\right)\left(x + y\right) = 1\\ x^{2}\left(y + z\right) + y^2\left(z+x\right) + z^2\left(x+y\right) = -6 \text{.} \end{gather*} $$$