Slični zadaci

Županijsko natjecanje 1996 SŠ4 3

U trokutu $A_1A_2A_3$ označimo: $a_1=|A_2A_3|$ , $a_2=|A_1A_3|$ , $a_3=|A_1A_2|$ . Duljine visina tog trokuta iz vrhova $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ označimo redom sa $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ . Promatrajmo sve brojeve oblika $a_1v_i + a_2v_j + a_3v_k$ gdje je $(i, j, k)$ bilo koja permutacija skupa $\{1, 2, 3\}$ . Nađite najmanji od tih brojeva i izrazite ga pomoću površine $P$ trokuta $A_1A_2A_3$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 1996 SŠ3 2

Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$ , $L$ i $M$ , pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$ , odredite kutove trokuta.

Županijsko natjecanje 1997 SŠ3 2

U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ( $D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ ). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4

Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$ , točke $T_a$ , $T_b$ , $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Ako je $f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Županijsko natjecanje 1996 SŠ4 1

Točka $T$ se giba po koordinatnoj ravnini tako da je produkt njezinih udaljenosti od pravaca $4x-3y+11= 0$ i $4x+3y+5=0$ jednak $\dfrac{144}{25}$ . Nađite jednadžbu geometrijskog mjesta točaka $T$ i skicirajte taj skup u koordinatnoj ravnini.

Županijsko natjecanje 2004 SŠ4 3

U ravnini su dane točke $A$ , $B$ i $C$ . Neka su $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$ , $BAE$ , $CAF$ , $DFG$ , $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$ .

Županijsko natjecanje 2005 SŠ4 2

Neka je $S$ točka na stranici $\overline{AB}$ danog šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $P$ i $Q$ središta kružnica opisanih trokutima $ASC$ i $BSC$ . Odredite položaj točke $S$ (na stranici $\overline{AB}$ ) tako da trokut $PQS$ ima najmanju moguću površinu.