Školjka

%V0 Dokažite da za svaki $n \geq 3$ postoje neparni brojevi $x$ i $y$ takvi da je $2^{n} = 7x^{2} + y^{2}.$

%V0 Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi i $n > 2.$ Dokažite da $2^m + 1$ nije djeljiv s $2^n - 1$.

%V0 Prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ zadovoljavaju jednakost $$ c(ac+1)^2=(5c+2b)(2c+b). $$ $a)$ Ako je $c$ neparan, dokažite da je on potpun kvadrat. $b)$ Može li $c$ biti paran?

%V0 Odredi, ako postoje, najmanji i najveći prirodni broj kojem je umnožak znamenaka $18\,900$.

%V0 Neka je $a$ prirodni broj veći od $1$. Dokaži da je broj $$ n(2n+1)(3n+1)\dots (an+1) $$ djeljiv sa svim prostim brojevima manjim od $a$, za svaki prirodan broj $n$.

%V0 Odredi sve parove cijelih brojeva $(m, n)$ takvih da je $3 \cdot 2^m +1 =n^2$.