Školjka

%V0 Niz $a_n$ zadan je rekurzivno sa $$$ \begin{align*} a_0 & = -1, \\ a_n & = \frac{2a_{n-1} - 3}{3a_{n-1} - 4},\;\;\;\;n \in \mathbb{N}. \end{align*}$$$ Odredite formulu za $a_n$.

%V0 Dokažite da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi jednakost $$ 3a_1+5a_2+7a_3+\ldots+(2n+1)a_n =(n+1)^2a_n -\dfrac{1}{2}n(n+1), $$ ako je $ {a_k=1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{k}}$, za svaki prirodni broj $k$.

%V0 Ivica mjeri svoju visinu na kraju svake školske godine. Do kraja osmog razreda osnovne škole visina je rasla kao aritmetički niz, a od tada kao geometrijski niz. Dokažite da Ivica u prvom razredu osnovne škole nije bio viši od $120$ cm, ako je na kraju sedmog razreda imao $154$ cm, na kraju prvog razreda srednje škole $165$ cm, a na kraju trećeg razreda srednje škole $176$ cm. [i]Napomena:[/i] Nije dozvoljeno koristiti kalkulator!

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$

%V0 Neka je $ a_n=1+\dfrac1{n}-\dfrac1{n^2}-\dfrac1{n^3}$, gdje je $n$ prirodan broj. Odredi najmanji prirodan broj $k$ takav da je $$ P_k=a_2a_3\dots a_k $$ veći od $1000$.

%V0 Dan je niz $(a_n)$, $$ a_1=1,\qquad a_n=3a_{n-1}+2^{n-1}, \ \text{za} \ n\geq 2. $$ Izrazi opći član niza $a_n$ pomoću $n$.