Školjka

%V0 Odredite brojeve $a_{1}, a_{2}, \ldots $ ako je $a_{1} = 1$, $a_{2} = 2$ i $$ a_{n} = (2n + 1)a_{n-1} - (n^{2} - 1)a_{n-2},\quad (n \ge 3). $$

%V0 Neka je $$ c_1 = 1,\;\;\;c_2 = 1 + \frac{1}{3},\;\;\ldots $$ $$ c_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{2n - 1}. $$ Dokažite da vrijedi $$ c_n^2 + 2(c_n - c_1)^2 + 2(c_n - c_2)^2 + \ldots + 2(c_n - c_{n-1})^2 = n. $$

%V0 Ivica mjeri svoju visinu na kraju svake školske godine. Do kraja osmog razreda osnovne škole visina je rasla kao aritmetički niz, a od tada kao geometrijski niz. Dokažite da Ivica u prvom razredu osnovne škole nije bio viši od $120$ cm, ako je na kraju sedmog razreda imao $154$ cm, na kraju prvog razreda srednje škole $165$ cm, a na kraju trećeg razreda srednje škole $176$ cm. [i]Napomena:[/i] Nije dozvoljeno koristiti kalkulator!

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$

%V0 Neka je $ a_n=1+\dfrac1{n}-\dfrac1{n^2}-\dfrac1{n^3}$, gdje je $n$ prirodan broj. Odredi najmanji prirodan broj $k$ takav da je $$ P_k=a_2a_3\dots a_k $$ veći od $1000$.

%V0 Dan je niz $(a_n)$, $$ a_1=1,\qquad a_n=3a_{n-1}+2^{n-1}, \ \text{za} \ n\geq 2. $$ Izrazi opći član niza $a_n$ pomoću $n$.