Školjka

%V0 Ako je $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ parna fukcija i ako je za $c > 0$ funkcija $g(x) = f(x - c)$ neparna, dokažite da je $f$ periodička funkcija s periodom $4c$.

%V0 Dokažite da ne postoji funkcija $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ koja zadovoljava ove uvjete: $(i)$ $f(1 + f(x)) = 1 - x$, za svaki $x \in \mathbb{R}$, $(ii)$ $f(f(x)) = x$, za svaki $x \in \mathbb{R}$.

%V0 Nađite sve funkcije $f:(0,+\infty )\longrightarrow(0,+\infty )$ za koje vrijedi $$ f(x)^{\displaystyle{f(y)}}=f(x^y),\quad \text{za}\;\text{svako}\;x,y>\;0. $$

%V0 Za svaki prirodan broj $n$ funkcija $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ zadovoljava uvjet $$ f(1)+f(2)+\ldots +f(n)=n^2f(n). $$ Ako je $f(1)=1002$, odredite $f(2004)$.

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$

%V0 $(BUL 2)$ Find all functions $f$ defined for all $x$ that satisfy the condition $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ for all $x$ and $y.$ Prove that exactly two of them are continuous.