Školjka

%V0 Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ veći od $2$ vrijedi $$ \dfrac12<\dfrac1{n}+\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}<1. $$

%V0 $a)$ Ako su $x_1$, $x_2\in (0,\displaystyle\frac{\pi }{2})$, dokažite: $$ \frac{\cos x_1+\cos x_2}{2}\leq \cos \frac{x_1+x_2}{2}. $$ $b)$ Ako su $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{2^k}\in \left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$, dokažite: $$ \frac{1}{2^k} \sum _{j=1}^{2^k} \cos x_j \leq \cos \left( \dfrac{1}{2^k} \sum_{j=1}^{2^k} x_j \right), \,\, \text{za} \, k \in \mathbb{N} \text{.} $$ $c)$ Ako su $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n\in \left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$, dokažite: $$ \frac{1}{n} \sum _{j=1}^{n} \cos x_j \leq \cos \left( \dfrac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j \right), \,\, \text{za} \, n \in \mathbb{N} \text{.} $$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$

%V0 Dani su realni brojevi $a$, $b$, $c$ veći od $1$. Dokaži sljedeću nejednakost $$ \log _abc+\log _bca+\log _cab\geq 4(\log _{ab}c+\log _{bc}a+\log_{ca}b). $$

%V0 Riješite nejednadžbu $$ \dfrac{\log_5 (x^2-4x-11)^2-\log_{11} (x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2} \ge 0. $$

%V0 Među točkama $(x,y)$ koordinatne ravnine za koje je $$\log_{x^2+y^2}(x+y) \ge 1$$ odredite onu koja ima najveću apscisu.