Školjka

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$, polumjera $r$ i $R$ redom ($r<R$) dodiruju se iznutra u točki $A$. Neka je $p$ pravac paralelan njihovoj zajedničkoj tangenti, neka je $B$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_1$, a $C$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_2$, tako da se točke $B$ i $C$ nalaze s iste strane pravca koji spaja središta danih kružnica. Dokaži da polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$ ne ovisi o izboru pravca $p$ i izrazi taj polumjer pomoću $r$ i $R$.

%V0 Neka je $n\ge 3$ prirodni broj. U kružnicu je upisan $n$-terokut $A_1A_2\ldots A_n$. Dokaži da postoje tri vrha $A,B,C\in\{A_1,\ldots,A_n\}$ za koje vrijedi $$ |AB|^2+|BC|^2+|CA|^2\ge |A_1A_2|^2+|A_2A_3|^2+\ldots+|A_iA_{i+1}|^2+\ldots+|A_nA_1|^2. $$

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 Tetiva $\overline{AB}$ paralelna je s promjerom $\overline{MN}$ kružnice. Neka je $t$ tangenta te kružnice u točki $M$ te neka su točke $C$ i $D$ redom sjecišta pravaca $NA$ i $NB$ s pravcem $t$. Dokaži da vrijedi $$ |MC|\cdot|MD|= |MN|^{2}. $$

%V0 Tangente povučene iz točke $T$ na kružnicu diraju je u točkama $A$ i $B$. Neka je $C$ na kružnici, različita od $B$, takva da je $|AB|=|AC|$. Dokažite da je $\angle TCB \le 30^{\circ }.$

%V0 Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = (\frac{1}{2} |BC|)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.