Školjka

%V0 Dokažite da za različite točke $A$, $B$, $C$ i $D$ na jednakostraničnoj hiperboli iz $AB \perp CD$ slijedi $AC \perp BD$ i $AD \perp BC.$

%V0 Točka $T$ se giba po koordinatnoj ravnini tako da je produkt njezinih udaljenosti od pravaca $4x-3y+11= 0$ i $4x+3y+5=0$ jednak $\dfrac{144}{25}$. Nađite jednadžbu geometrijskog mjesta točaka $T$ i skicirajte taj skup u koordinatnoj ravnini.

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 Neka kružnica polumjera $r$ siječe hiperbolu $xy=1$ u četiri točke $P_1(x_1,y_1)$,\break $P_2(x_2,y_2)$, $P_3(x_3,y_3)$, $P_4(x_4,y_4)$. Dokaži da vrijedi: $a)$ $x_1x_2x_3x_4=y_1y_2y_3y_4=1$, $b)$ ${\sum _{k=1}^4|OP_k|^2=4r^2}$ ($O$ je ishodište koordinatnog sustava).

%V0 Dana je parabola $y^2=2px$, $p>0$. Na paraboli su dane točke $A$, $B$ i $C$ ($A$ ima najveću, a $C$ najmanju ordinatu) tako da je simetrala kuta $\angle ABC$ paralelna s $x$-osi. Ako je duljina projekcije dužine $\overline{AC}$ na $y$-os jednaka $4p$, odredi ordinatu polovišta dužine $\overline{BC}$.

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$, polumjera $r$ i $R$ redom ($r<R$) dodiruju se iznutra u točki $A$. Neka je $p$ pravac paralelan njihovoj zajedničkoj tangenti, neka je $B$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_1$, a $C$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_2$, tako da se točke $B$ i $C$ nalaze s iste strane pravca koji spaja središta danih kružnica. Dokaži da polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$ ne ovisi o izboru pravca $p$ i izrazi taj polumjer pomoću $r$ i $R$.