Školjka

%V0 Zadan je niz brojeva $(a_n)$ takav da je $$a_0=9\qquad\text{i}\qquad a_{k+1}=3a_k^4+4a_k^3\quad\text{za sve }\ k\ge 0.$$ Dokaži da dekadski zapis broja $a_{11}$ završava s barem $2011$ devetki.

%V0 Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ zadan je rekurzivno: $$ \begin{array}{rcl} a_1&=&1\\ a_n&=&{4n-2\over n} \,\,\, a_{n-1},\quad n\ge 2 \, . \end{array} $$ Dokažite da su svi članovi tog niza prirodni brojevi.

%V0 Dan je aritmetički niz $1995, 1999, \ldots .$ Dokažite da taj niz sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.

%V0 Vladimir je na ploču napisao brojeve $1$ i $2$, a zatim nastavio pisati brojeve tako da je svaki novi broj suma kvadrata zadnjih dvaju napisanih brojeva. Dokaži da, ponavljajući taj postupak, Vladimir nikad neće napisati broj djeljiv s $3$ niti broj djeljiv sa $7$.

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

%V0 Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.