Školjka

%V0 Točka $P$ je polovište tetive parabole $\cal{P}$ u čijim su krajevima povučene tangente na tu parabolu. Neka je $T$ sjecište tih tangenata. Dokaži da polovište dužine $\overline{PT}$ leži na paraboli.

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 Odredite geometrijsko mjesto točaka $M$ u Kartezijevoj koordinatnoj ravnini takvih da su tangente povučene iz točke $M$ na parabolu $y=x^2$ međusobno okomite.

%V0 Neka su $A$ i $B$ točke na paraboli s tjemenom u točki $O$ takve da su tetive $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$ okomite, a $\phi$ kut između tetive $\overline{OA}$ i osi parabole. Dokažite da je $$ \dfrac{|OA|}{|OB|}=\ctg^3\phi. $$

%V0 Nađite jednadžbe zajedničkih tangenata parabola $$ y = 2x^{2} - 1\qquad \text{i}\qquad y = (x - 1)^{2}. $$

%V0 Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadžbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0^\prime$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0 T_0^\prime}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0^\prime$ na pravac $T_0 T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T^\prime$. Što opisuje točka $T^\prime$?