Školjka

%V0 Neka je skup prirodnih brojeva podijeljen u intervale na sljedeći način: U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni). Neka je $p_i$ udio prostih brojeva u $i$-tom intervalu. a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $ p_{k+1} < p_k$. b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $ p_{k+1} > p_k$.

%V0 Zadani su nizovi prirodnih brojeva $a_n=2^{2n+1}-2^{n+1}+1$ i $b_n=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$; $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je, za svaki $n \in \mathbb{N}$, točno jedan od brojeva $a_n$ i $b_n$ djeljiv s $5$.

%V0 Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ zadan je rekurzivno: $$ \begin{array}{rcl} a_1&=&1\\ a_n&=&{4n-2\over n} \,\,\, a_{n-1},\quad n\ge 2 \, . \end{array} $$ Dokažite da su svi članovi tog niza prirodni brojevi.

%V0 U kojem brojevnom sustavu $297 | 792$ (tj.\ $297$ dijeli $792$)?

%V0 Dan je aritmetički niz $1995, 1999, \ldots .$ Dokažite da taj niz sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.