Školjka

%V0 Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_2}{a_3\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_n}{a_1\left(a_n+a_1\right)} = \frac{a_2}{a_1\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_3}{a_2\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_1}{a_n\left(a_n+a_1\right)} \text{.}$$

%V0 Zadani su realni brojevi $a<b<c<d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p$, $q$, $r$, $s$ za koje je $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{p,\,q,\,r,\,s\}$, a vrijednost izraza $$(p-q)^2+(q-r)^2+(r-s)^2+(s-p)^2$$ je najmanja.

%V0 Ivan i Krešo, pošli su istodobno iz Crikvenice u Kraljevicu, čija je udaljenost $15$ km, a Marko je u isto vrijeme krenuo iz Kraljevice u Crikvenicu. Sva trojica imala su jedan bicikl i put su prevaljivali pješačenjem brzinom od $5$ km/h ili biciklom brzinom $15$ km/h. Ivan je pošao pješice, dok je Krešo vozio bicikl sve dok se nije sreo s Markom. Tada je Krešo dao bicikl Marku i nastavio put prema Kraljevici pješice, a Marko je nastavio put prema Crikvenici biciklom. Kada je sreo Ivana dao mu je bicikl i ovaj je vozeći se stigao u Kraljevicu, dok je Marko pješice nastavio put do Crikvenice. Koliko vremena je svaki od njih trebao da dođe do svog cilja, koliko je pješačio, a koliko vozio bicikl?

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a \text{.}$$ Dokaži da je $\displaystyle a+\frac1b=-abc$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva $$\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca$$ nenegativan.

%V0 Nađi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(16x^{200} + 1\right)\left(y^{200} + 1\right) = 16\left(xy\right)^{100} \text{.}$$