Školjka

%V0 Ne beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednak kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?

%V0 Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$. Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja, $a_i$ i $a_j$, $(i \not= j)$, te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$?

%V0 Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

%V0 Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(2, 3) \put(0, 0){\line(1, 0){1}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(2, 2){\line(-1, 0){2}} \put(2, 2){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 1){\line(1, 0){2}} \end{picture}$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

%V0 "Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$, $100$, $150$, ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$.

%V0 Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici. $$$\setlength{\unitlength}{25pt} \begin{center} \begin{picture}(4.2, 4.2) \multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}} \multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}} \put(1, 0){\line(1, 1){3}} \put(1, 0){\line(-1, 1){1}} \put(3, 0){\line(1, 1){1}} \put(3, 0){\line(-1, 1){3}} \put(1, 4){\line(1, -1){3}} \put(1, 4){\line(-1, -1){1}} \put(3, 4){\line(1, -1){1}} \put(3, 4){\line(-1, -1){3}} \multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \end{picture} \end{center}$$$ Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$. Kažemo da je prirodni broj $n$ [i]dohvatljiv[/i] ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$. a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv. b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.