Školjka

%V0 Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_1$ i $k_2$ koje iznutra diraju kružniuc $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

%V0 kruznice $k_1$ i $k_2$ polumjera $r_1 = 6$ i $r_2 = 3$ dodiruju se izvana. obje kruznice dodiruju iznutra kruznicu $k$ polumjera $r = 9$. zajednica vanjska tangenta kruznica $k_1$ i $k_2$ sijece kruznicu $k$ u tockama $P$ i $Q$. izracunajte duljinu tetive $\overline{PQ}$.

%V0 Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

%V0 Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \displaystyle \frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.

%V0 Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

%V0 Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.