Slični zadaci

Državno natjecanje 2010 SŠ1 5

Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

$\setlength{\unitlength}{25pt} \begin{center} \begin{picture}(4.2, 4.2) \multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}} \multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}} \put(1, 0){\line(1, 1){3}} \put(1, 0){\line(-1, 1){1}} \put(3, 0){\line(1, 1){1}} \put(3, 0){\line(-1, 1){3}} \put(1, 4){\line(1, -1){3}} \put(1, 4){\line(-1, -1){1}} \put(3, 4){\line(1, -1){1}} \put(3, 4){\line(-1, -1){3}} \multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \end{picture} \end{center}$

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$ .

Kažemo da je prirodni broj $n$ dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$ .

a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv.

b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1999 SŠ1 4

Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$ . Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja, $a_i$ i $a_j$ , $(i \not= j)$ , te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$ . Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$ ?

Državno natjecanje 2000 SŠ1 4

Na raspolaganju su kovanice od $1$ , $2$ , $5$ , $10$ , $20$ , $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

Državno natjecanje 2001 SŠ1 4

Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(2, 3) \put(0, 0){\line(1, 0){1}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(2, 2){\line(-1, 0){2}} \put(2, 2){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 1){\line(1, 0){2}} \end{picture}$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

Državno natjecanje 2002 SŠ1 4

"Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$ , $100$ , $150$ , ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$ .

Državno natjecanje 2007 SŠ1 3

a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.

b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$ .

Državno natjecanje 2009 SŠ1 5

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$ . Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom slijeva nadesno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$ , $3$ ili $5$ , a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$ . Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$ .