Školjka

%V0 Dokažite da jednadžba $x^{2} - (a + c)x + ac - b^{2} = 0$ ima realne korijene $x_{1}$ i $x_{2}$ za bilo koje realne koeficijente $a$, $b$ i $c$ te da su $a$ i $c$ korijeni jednadžbe $(y - x_{1})(y - x_{2}) + b^{2} = 0$.

%V0 Ako su $a$ i $b$ realni brojevi, različiti od nule, nađite sva rješenja jednadžbe $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}.$$

%V0 Na skupu realnih brojeva definirana je funkcija $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2-2x+1}}.$$ Odredite $f(1)+f(2)+\ldots +f(2003)$.

%V0 Nađite sve realne brojeve $x$, $y$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$(x^2+y^2-4)^2(xy-1)^2+\sqrt{y^2-x^2}=0.$$

%V0 U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu: $$ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+3}=3+\sqrt{x+7}. $$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ tri različita realna broja od kojih niti jedan nije jednak nula. Promatramo kvadratne jednadžbe: $$ a x^2 + b x + c= 0, \quad b x^2 + c x + a= 0, \quad c x^2 + a x + b= 0. $$ Ako je $\dfrac{c}{a}$ rješenje prve jednadžbe, dokaži da sve tri jednadžbe imaju zajedničko rješenje. Odredi umnožak drugih triju rješenja tih jednadžbi (ne-zajedničkih).