Školjka

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi za koje je $a+b\neq0$, $b+c\neq0$ i $a+c\neq0$, dokaži da izraz: $$ \left(1+\dfrac{c}{a+b}\right) \left( 1+\dfrac{a}{b+c}\right) \left( 1+\dfrac{b}{a+c}\right) -\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}} {\left(a+b\right) \left(b+c\right) \left(a+c\right)} $$ ne ovisi o vrijednostima brojeva $a$, $b$ i $c$.

%V0 Ako je $abc\ne 0$, da li je moguće da svaka od ove tri jednadžbe $$$\begin{align*} ax^2+bx+c&=0, \\ cx^2+ax+b&=0, \\ bx^2+cx+a&=0, \end{align*}$$$ ima realna rješenja?

%V0 Ako su $a$ i $b$ realni brojevi, različiti od nule, nađite sva rješenja jednadžbe $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}.$$

%V0 Ako je $ax^3=by^3=cz^3 $ i $\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1}$, dokažite jednakost $$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.$$

%V0 Dane su dvije kvadratne jednadžbe $$ x^2+ax+1=0, \qquad x^2+x+a=0. $$ Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje te jednadžbe imaju barem jedno zajedničko rješenje.

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ tri različita realna broja od kojih niti jedan nije jednak nula. Promatramo kvadratne jednadžbe: $$ a x^2 + b x + c= 0, \quad b x^2 + c x + a= 0, \quad c x^2 + a x + b= 0. $$ Ako je $\dfrac{c}{a}$ rješenje prve jednadžbe, dokaži da sve tri jednadžbe imaju zajedničko rješenje. Odredi umnožak drugih triju rješenja tih jednadžbi (ne-zajedničkih).