Školjka

%V0 Tetiva $\overline{AB}$ paralelna je s promjerom $\overline{MN}$ kružnice. Neka je $t$ tangenta te kružnice u točki $M$ te neka su točke $C$ i $D$ redom sjecišta pravaca $NA$ i $NB$ s pravcem $t$. Dokaži da vrijedi $$ |MC|\cdot|MD|= |MN|^{2}. $$

%V0 Dane su dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ koje nemaju zajedničkih točaka. Zajedničke vanjske tangente, $t_1$ i $t_2$, diraju kružnicu $k_1$ u točkama $A_1$ i $A_2$, a kružnicu $k_2$ u točkama $B_1$ i $B_2$. Zajedničke unutarnje tangente, $p_1$ i $p_2$, diraju kružnicu $k_1$ u točkama $C_1$ i $C_2$, a kružnicu $k_2$ u točkama $D_1$ i $D_2$. Dokažite da je udaljenost pravaca $A_1A_2$ i $C_1C_2$ jednaka udaljenosti pravaca $B_1B_2$ i $D_1D_2.$

%V0 U jednakostraničnom trokutu $ABC$ dane su točke $D\in \overline{AB}$ i $E\in \overline{BC}$ takve da je $|AD|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|AB|$ i $|BE|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|BC|$. Pravci $AE$ i $CD$ sijeku se u točki $P$. Koliki je kut $\angle BPC$?

%V0 Neka je $ABCD$ pravokutnik sa stranicama duljina $20$ i $15$. Kroz točku $C$ prolazi kružnica sa središtem u vrhu $A$ zadanog pravokutnika. Odredi duljinu one tetive kružnice koja sadrži dijagonalu $\overline{BD}$.

%V0 Tri kruga polumjera $1$ cm imaju točno jednu zajedničku točku, a njihova središta vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi površinu skupa svih točaka koje pripadaju dvama od tih krugova. [img attachment=1 width=200px]

%V0 Dvije kružnice sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Ako dva pravca koja prolaze kroz točku $Q$ sijeku prvu kružnicu u točkama $A$ i $B$, a drugu kružnicu u točkama $C$ i $D$, dokaži da su trokuti $PAB$ i $PCD$ slični.