Školjka

%V0 Dvije kružnice se sijeku u točkama $M$ i $N$. Neka njihova zajednička tangenta siječe te kružnice u točkama $A$ i $B$ redom. Dokaži da pravac $MN$ raspolavlja dužinu $AB$.

%V0 Neka je $ABC$ jednakokračan trokut s $|AB| = |BC|$. Tangente na njegovu opisanu kružnicu u točkama $A$ i $B$ sijeku se u $D$. Pravac $CD$ siječe tu kružnicu još u točki $E$. Dokaži da $AE$ raspolavlja dužinu $BD$.

%V0 Tetiva $|AB|$ paralelna je s promjerom $|MN|$ neke kružnice. Neka je $t$ tangenta te kružnice u točki $M$ te neka su točke $C$ i $D$ redom sjecišta pravaca $NA$ i $NB$ s pravcem $t$. Dokaži da vrijedi: $$|MN|^2 = |MC| \cdot |MD|\text{.}$$

%V0 $k_1$ i $k_2$ su kružnice s promjerima $|AP|$ i $|AQ|$ redom. One se sijeku još u točki $T$. Neka je $Q'$ drugo sjecište kružnice $k_1$ i pravca $AQ$, a $P'$ drugo sjecište kružnice $k_2$ i pravca $AP$. Kružnica $k_3$ prolazi točkama $T, P, P'$, a kružnicu $k_4$ točkama $T, Q, Q'$. Dokaži da pravac na kojem leži zajednička tetiva kružnica $k_3$ i $k_4$ prolazi točkom $A$.

%V0 Visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ siječe kružnicu s promjerom $|BC|$ u $P_1$ i $Q_1$. Analogno definiramo $P_2$ i $Q_2$ za visinu iz vrha $B$ i kružnicu s promjerom $|AC|$. Dokaži da su $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ konciklične.

%V0 Dokaži Eulerovu relaciju: $|OI|^2 = R^2 - 2Rr$.

%V0 Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Na njegovoj dijagonali $|AC|$ dana je točka $E$ takva da je $|AD| = |AE|$ i $|CB| = |CE|$. $M$ je centar kružnice oko $BDE$. Ta kružnica siječe $AC$ u $E$ i $F$. Dokaži da su $FM$, $AD$ i $BC$ konkurentni.

%V0 $A$, $B$, $C$ i $D$ su četiri točke na pravcu (tim redom). Kružnice nad $|AC|$ i $|BD|$ ($k_1$ i $k_2$) sijeku se u $X$ i $Y$. Neka je $P \in XY$. $CP \cap k_1 = M$, $BP \cap k_2 = N$. Dokaži da su pravci $AM$, $DN$ i $XY$ konkurentni.

%V0 Neka je $ABCD$ tetivni četverokut takav da promjer njemu opisane kružnice leži na $AB$. Neka je $S$ središte te kružnice i $X$ polovište od $|CD|$. Neka je $E = AD \cap BC$ i $Y$ nožište okomice iz $E$ na $AB$. $EY \cap CD = Z$. Dokaži da je $ABXZ$ tetivan.

%V0 Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $|AB|$ i $|AC|$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $|AC| = 2|OP|$, dokaži da vrijedi $|AB| = 2|OQ|$.