Školjka

%V0 Dokažite da za sve realne brojeve $x, y$ vrijedi nejednakost: $$(x^2+y^2)^2-2xy(2x^2-3xy+2y^2)\geq0.$$ Kada vrijedi jednakost?

%V0 Kiki želi u svojoj matematičkoj bilježnici zacrniti $100$ jediničnih kvadratića tako da ukupan opseg zacrnjenog područja bude minimalan. Odredite koliko iznosi minimalan opseg te jedan način zacrnjivanja za koji se on postiže.

%V0 Dan je jednakokračan pravokutan trokut $ABC$ s pravih kutom prvi vrhu $C$. Neka je $P$ polovište hipotenuze, a $T$ točka na hipotenuzi različita od $P$. Iz $T$ povučena je okomica na hipotenuzu koja sječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $H$. Ako je $S$ sjecište pravaca $PH$ i $CT$, dokažite da trokuti $SPT$ i $SCH$ imaju iste površine.

%V0 Odredite prirodan broj $n$ takav da za njegova četiri najmanja djelitelja $d_1, d_2, d_3, d_4$ vrijedi: $$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=n.$$

%V0 Odredite realne brojeve $x, y, z, w$ takve da vrijedi: $$x+y+z=6w$$ $$x^2+y^2+z^2=12w^2$$ $$2xyz+3y^2-4z=4.$$

%V0 na "cetvrtini" beskonacne kvadratne mreze ( tamo gdje je $x \geqslant 0$ i $y \geqslant 0$ ), igra se sljedeca igra: u kvadraticima s koordinatama $(0,0)$, $(0,1)$, $(0, 2)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(2, 0)$ postavljen je po jedan zeton. dozvoljen potez je maknuti jedan zeton s polja $(m, n)$, gdje su $m, n \in \mathbb{N}_0$ takvi da na poljima $(m+1,n)$ i $(m, n+1)$ ne stoji zeton, te staviti po jedan zeton na polje $(m+1,n)$ i na polje $(m, n+1)$. je li moguce konacnom primjenom ovih poteza doci u situaciju da na pocetnih sest polja ne stoji vise niti jedan zeton?

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ označimo s $D$ diralište pripisane kružnice i stranice $\overline{BC}$, a $E$ diralište upisane kružnice i stranice $\overline{BC}$. Neka je $I_1$ središte upisane kružnice trokuta $ABD$, a $I_2$ središte upisane kružnice trokuta $ADC$. Dokažite da je $EDI_1I_2$ tetivan.

%V0 $\text{(i)}$ Odredi sve proste brojeve $p_1<p_2<...<p_n$ takve da je $$\left( 1+\displaystyle\frac{1}{p_1}\right)\cdot \left( 1+\displaystyle \frac{1}{p_2}\right)\cdot ... \cdot \left( 1+\displaystyle\frac{1}{p_n}\right)$$ prirodan broj. $\text{(ii)}$ Postoje li prirodni brojevi $1<a_1<a_2<...<a_n$ takvi da je $$\left( 1+\displaystyle\frac{1}{a_1^2}\right)\cdot \left( 1+\displaystyle \frac{1}{a_2^2}\right)\cdot ... \cdot \left( 1+\displaystyle\frac{1}{a_n^2}\right)$$ prirodan broj.

%V0 Može li se svaki niz realnih brojeva prikazati kao unija konačno mnogo monotonih nizova? Svoju tvrdnju dokažite.

%V0 Kiki zamisli dvoznamenkasti broj, a Veki ga pokušava pogoditi. Ako Veki pogodi točan broj ili broj kojemu je jedna znamenka točna a druga se od točne razlikuje za 1 Kiki mu kaže "Toplo!", inače kaže "Hladno!". (npr. ako Kiki zamisli $65$, za pogađane brojeve $64, 65, 66, 55, 75$ reći će "Toplo!", a za ostale "Hladno!") $\text{(i)}$ Dokaži da ne postoji strategija u kojoj Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $18$ pokušaja. $\text{(ii)}$ Pronađite strategiju kojom Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $24$ pokušaja.

%V0 Dan je raznostraničan šiljastokutan trokut $ABC$. Neka je $D$ sjecište vanjske simetrale kuta $\angle ACB$ i pravca $AB$. Neka je $E$ točka na kružnici opisanoj trokutu $ABC$ takva da je $\angle DEB=90^{\circ}$. Neka je $P$ na istoj toj kružnici, tako da leži na manjem kružnom luku $AB$. Točka $T$ je sjecište pravaca $CP$ i $EB$. Dokažite da je pravac $TD$ okomit na pravac $AB$ ako i samo ako vrijedi: $$AP\cdot PB\cdot BC\cdot CA=\frac{AB^2\cdot PC^2}{4}.$$

%V0 Za broj kažemo da je [i]malen[/i] ako je strogo manji od zbroja svih svojih djelitelja ne uključujući njega samog. Postoji li [i]malen[/i] neparan broj?