Školjka

%V0 Ima li jednadžba $$2x^3 + 0x^2 + 1x + 2 = 0 $$ rješenja u skupu realnih brojeva?

%V0 Roko se šeće po ploči $4 \times 2012$ ($4$ retka, $2012$ stupaca), koja je obojana šahovski (polje lijevo gore je crno). Na početku se nalazi na crnom polju u prvom retku i prvom stupcu. U svakom koraku pomakne se prema desno, i to na neko crno polje koje ima jedan vrh zajednički sa poljem na kojem se trenutno nalazi. Na koliko načina se Roko može prošetati pločom i završiti na polju u zadnjem retku i zadnjem stupcu?

%V0 Dijagonale tetivnog četverokuta $ABCD$ sijeku se u $S$. Kružnica opisana trokutu $ABS$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a kružnica opisana trokutu $ADS$ siječe pravac $CD$ u točki $N$. Dokažite da su $S$, $M$, $N$ kolinearne.

%V0 Dekadski zapis prirodnog broja $a$ ima $n$ znamenaka, a dekadski zapis broja $a^3$ ima $m$ znamenaka. Je li moguće da je $n+m=2013$?

%V0 Dani su brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_{2012}$ iz intervala $\left[0,1\right]$. Dokaži nejednakost: $$ \left(1-a_1\right)a_2a_3\cdots a_{2012} + a_1\left(1-a_2\right)a_3 \cdots a_{2012} + \cdots + a_1\cdots a_{2011}\left(1-a_{2012}\right) \leq 1 \text{.}$$

%V0 Pravilni šestrerokuti duljine stranice $1$ poslagani su tako da formiraju igraću ploču u obliku pravilnog šesterokuta stranice $2012$. Vlatko i Vlatka igraju igru na toj ploči. U prvom potezu Vlatko bira mjesto na koje će staviti figuru, a nakon toga, Vlatka pa Vlatko naizmjence pomiču figuru na neko susjedno polje. Tko pomakne figuru na polje na kojem je već bila, gubi. Tko ima pobjedničku strategiju?

%V0 Dan je trokut $ABC$ i točka $T$ u njegovoj unutrašnjosti. Pravci $AT$, $BT$, $CT$ sijeku dužine $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ u $A_1$, $B_1$, $C_1$, respektivno. Neka je $S_1=P(ATC_1)+P(BTA_1)+P(CTB_1)$, $S_2=P(BTC_1)+P(CTA_1)+P(ATB_1)$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo izbora točke $T$ takvih da je $S_1=S_2$. $P(XYZ)$ označava provršinu trokuta $XYZ$.

%V0 Nađi sve prirodne brojeve $m,n$ takve da vrijedi: $$1^1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + n^n=m^n \text{.}$$

%V0 Neka je $n \in \mathbb{N}$ te neka su $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n$ i $b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_n$ dva niza različitih realnih brojeva. U tablici dimenzija $n \times n$ broj u $i$-tom redu i $j$-tom stupcu je jednak $a_i + b_j$. Produkti brojeva u svakom redu tablice su jednaki. Dokaži da su i produkti brojeva u svakom stupcu tablice također jednaki.

%V0 Postoji li konačan skup $S$ točaka u ravnini, $\left\vert S \right\vert \geq 3$, u kojem nikoje tri točke nisu kolinearne i takav da opišemo li kružnicu bilo kojima trima točkama iz $S$ postoji neka točka iz $S$ koja se nalazi izvan te kružnice?

%V0 Dan je tetivan četverokut $ABCD$, kojemu je $\overline{AC}$ promjer opisane kružnice. Neka točke $E$ i $F$ leže na pravcima $AD$ i $AB$. Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{BD}$ se sijeku u $G$. Dokaži da ako je $AECF$ tetivan, da je $\angle EGC=90^\circ$.

%V0 Odredi sve četveroznamenkaste brojeve $\overline{abcd}$ takve da vrijedi $$ 7 \mid \overline{abcd} \text{,} \quad 7 \mid \overline{dcba} \text{,} \quad 37 \mid \overline{abcd} - \overline{dcba} \text{.}$$