Školjka

%V0 Dokaži da za sve $a,b \in \mathbb{R}$ vrijedi $$a^2+b^2+2a+2b+2ab+2>0$$

%V0 Zadana je uređena trojka brojeva $(a, b, c)$ na kojoj možemo vršiti sljedeću operaciju: uzmemo dva broja iz trojke i zamijenimo ih s $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ i $\frac{a-b}{\sqrt{2}}$. Možemo li doći do trojke $(1, \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ krenuvši od trojke $(2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$?

%V0 U trokutu $ABC$ simetrale kuta $\gamma$ pri vrhu $C$ siječe nasuprotnu stranicu $\overline{AB}$ u točki $N$. Točka $D$ izvan trokuta $ABC$ je takva da je $|AN|=|ND|$ i da je $\angle{ADN}= \frac{\gamma}{2}$. Dokažite da je $AB$ simetrala kuta $\angle{DBC}$.

%V0 Dokaži da za svaki prost broj $p$ vrijedi. Ako $p|a-b$ onda $p^2|a^p - b^p$

%V0 Nađite sve realne brojeve $x,y$ za koje vrijedi $$y^2(4x^2+4x+1)^2+(2y+1)(4x^2+4x+1)-1=\frac{-1}{4x^2+4x+1}$$

%V0 Koliko ima $3$-članih podskupova skupa $S=\{1, 2, ..., 20\}$ od kojih ni jedan ne sadrži $2$ uzastopna broja?

%V0 Zadane su 2 kružnice, $k$ i $l$, koje se sijeku u točkama $A_1$ i $B_1$. Neka je $p$ pravac određen točkama $A_1$ i $B_1$. Dane su proizvoljne točke $A$ i $B$ s pravca $p$ tako da je dužina $\overline{A_1B_1}$ sadržana u dužini $\overline{AB}$, te tako da vrijedi $0 \neq |AA_1| \neq |BB_1| \neq 0$. Na kružnici $k$, odabrane su točke $M$ i $N$, s iste strane pravca $p$, takve da su pravci $AM$ i $BN$ tangente na kružnicu $k$. Na kružnici $l$, odabrane su točke $R$ i $S$, s iste strane pravca $p$, ali s različite strane u odnosu na točke $M$ i $N$, takve da su pravci $AR$ i $BS$ tangente na kružnicu $l$. Dokažite da se pravci $MN$ i $RS$ sijeku u točki koja je na pravcu $p$.

%V0 Neka su $(a_1,a_2,...,a_n)$ u parovima relativno prosti prirodni brojevi. Dokaži da postoje cijeli brojevi $(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n)$, koji su svi različiti od $0$, takvi da je $$\lambda_1a_1+\lambda_2a_2 +...+\lambda_na_n=1$$.

%V0 Za $a,b,c>0$ dokaži da vrijedi: $$\left( \frac{2a}{b+c} \right)^{\frac{2}{3}}+\left( \frac{2b}{a+c} \right)^{\frac{2}{3}}+\left( \frac{2c}{a+b} \right)^{\frac{2}{3}} \geq 3 \text{.}$$

%V0 U razredu ima $33$ djece. Svakog su pitali koliko ima djece s istim imenom (svatko broji i sebe samog u to), te onda s istim prezimenom (opet svatko broji i sebe samog). Među $66$ brojeva, svi brojevi od $1$ do $11$ su bili odgovoreni. Dokaži da postoje dvojica s istim imenom i prezimenom.

%V0 Zadane su 2 kružnice, $k$ i $l$, koje se sijeku u točkama $A_1$ i $B_1$. Neka je $p$ pravac određen točkama $A_1$ i $B_1$. Dane su proizvoljne točke $A$ i $B$ s pravca $p$ tako da je dužina $\overline{A_1B_1}$ sadržana u dužini $\overline{AB}$, te tako da vrijedi $0 \neq |AA_1| \neq |BB_1| \neq 0$. Na kružnici $k$, odabrane su točke $M$ i $N$, s iste strane pravca $p$, takve da su pravci $AM$ i $BN$ tangente na kružnicu $k$. Na kružnici $l$, odabrane su točke $R$ i $S$, s iste strane pravca $p$, ali s različite strane u odnosu na točke $M$ i $N$, takve da su pravci $AR$ i $BS$ tangente na kružnicu $l$. Dokažite da se pravci $MN$ i $RS$ sijeku u točki koja je na pravcu $p$.

%V0 Neka su $(a_1,a_2,...,a_n)$ relativno prosti (svi zajedno, ne nuzno u parovima relativno prosti) prirodni brojevi. Dokaži da postoje cijeli brojevi $(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n)$, koji su svi razliciti od $0$, takvi da je $$\lambda_1a_1+\lambda_2a_2 +...+\lambda_na_n=2013$$