Školjka

%V0 Za prirodan broj $m$ neka je $m?$ umnožak prvih $m$ prostih brojeva. Odredi postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je $m?=n(n+1)(n+2)(n+3)$.

%V0 Dan je trokut $ABC$ i točka $P$ unutar njega. Pravac paralelan s $AB$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ u točkama $L$ i $F$ redom. Pravac paralelan s $BC$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{CA}$ i $\overline{BA}$ u točkama $M$ i $D$ redom, dok pravac paralelan s $CA$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ u točkama $N$ i $E$ redom. Dokaži da vrijedi $$ (PDBL) \cdot (PECM) \cdot (PFAN) = 8 \cdot (PFM) \cdot (PEL) \cdot (PDN) \text{,} $$ gdje $(XYZ)$ i $(XYZT)$ označavaju površinu trokuta $XYZ$, odnosno površinu četverokuta $XYZT$.

%V0 Dan je lokot sastavljen od $6$ kotačića na kojima su zapisane znamenke $0, 1, 2, \ldots 9$ tim redom (nakon $9$ opet dolazi $0$). Točno jedna šifra otključava taj lokot. Jedan potez sastoji se od okretanja jednog od kotačića za jednu znamenku u bilo kojem smjeru, te se lokot odmah otvara ukoliko je novodobivena kombinacija jednaka šifri. Na početku su kotačići okrenuti tako da pokazuju kombinaciju $000000$, te je provjereno da ta kombinacija ne otvara lokot. a) Koji je najmanji broj poteza koji nam je potreban da sigurno otkrijemo šifru? b) Koji je najmanji broj poteza koji nam je potreban da sigurno otkrijemo šifru, ako nam je još na početku rečeno da nijedna od kombinacija $000000$, $111111$, $222222$, $\ldots$, $999999$ nije šifra za taj lokot?

%V0 Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $$ \frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+c+a} + \frac{c}{1+a+b} \geqslant \frac{ab}{1+a+b} + \frac{bc}{1+b+c} + \frac{ca}{1+c+a} \text{.} $$ Dokaži da tada vrijedi $$ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2 \geqslant 2 (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \text{.} $$

%V0 U svakom polju tablice zapisan je realan broj. Takvu $n \times n$ tablicu zovemo [i]blesavom[/i] ako je broj u svakom polju tablice jednak umnošku svih brojeva u susjednim poljima. a) Nađi sve blesave tablice dimenzija $2 \times 2$. b) Nađi sve blesave tablice dimenzija $3 \times 3$. [i](Dva polja tablice su susjedna ako dijele stranicu.)[/i]

%V0 [i]Palindrom[/i] je niz znakova koji se jednako čita s lijeva na desno i s desna na lijevo. Dokaži da se u beskonačnom nizu $ (x_n)_{n=0}^{\infty}$ definiranom sa $$ x_n=2013+317n $$ nalazi beskonačno mnogo prirodnih brojeva čiji su decimalni zapisi palindromi.

%V0 Niz od $n$ znamenaka jedan ili nula zovemo [i]kodom[/i]. Podniz koda je [i]palindrom[/i] ako se jednako čita s lijeva na desno i s desna na lijevo. Palindrom zovemo [i]lijepim[/i] ako se njegove znamenke u kodu pojavljuju za redom. [i](Kod $(1101)$ sadrži 10 palindroma, od kojih je 6 lijepih.)[/i] a) Koji je najmanji mogući broj palindroma u kodu? b) Koji je najmanji mogući broj lijepih palindroma u kodu?

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $D,E,F$ nožišta visina iz $A,B,C$ redom. Neka su $X,Y,Z$ polovišta visina $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$ redom. Dokaži da se okomica iz $D$ na pravac $YZ$, okomica iz $E$ na pravac $XZ$ te okomica iz $F$ na pravac $XY$ sijeku u jednoj točki.