Europski matematički kup 2015

Zadaci

Europski matematički kup 2015. juniori 1

Dana je ploča $n \times n$ , čiji su retci numerirani brojevima od $1$ do $n$ odozgo prema dolje i stupci brojevima od $1$ do $n$ s lijeva na desno. U svakom polju ploče s koordinatama $(x,y)$ napisan je broj $x^2+y^2$ . Na početku nam je dana figura i možemo je postaviti na proizvoljno polje ploče. Nakon toga, u svakom potezu možemo pomaknuti figuru na neko drugo polje ukoliko to polje već nije bilo posjećeno i ako je zadovoljen barem jedan od dva sljedeća uvjeta: $\begin{itemize} \item brojevi napisani na ta dva polja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$, \item ta polja se nalaze centralno simetrično u odnosu na sredinu ploče. \end{itemize}$ Mogu li sva polja ploče biti posjećena ako je

a) $n=4$ ,

b) $n=5$ ?

(Josip Pupić)

Europski matematički kup 2015. juniori 2

Neka su fiksirani pozitivni realni brojevi $m,n,p$ sa svojstvom $mnp=8$ . U ovisnosti o tim konstantama nađi minimum izraza $x^2+y^2+z^2+mxy+nxz+pyz,$ gdje su $x,y,z$ proizvoljni pozitivni realni brojevi takvi da je $xyz=8$ . Kada se postiže jednakost?

Riješi zadatak u slučaju:

a) $m=n=p=2$ ,

b) proizvoljnih (ali fiksiranih) pozitivnih realnih brojeva $m,n,p$ .

(Stijn Cambie)

Europski matematički kup 2015. juniori 3

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$ . Za prirodan broj $n$ definiramo $f(n)$ na sljedeći način: $f(n)=d(k_1)+d(k_2)+ \ldots + d(k_m),$ gdje su $1=k_1 < k_2 < \cdots < k_m=n$ svi djelitelji broja $n$ . Prirodan broj $n>1$ zovemo skoro savršenim ako je $f(n)=n$ . Nađi sve skoro savršene brojeve.

(Paulius Ašvydis)

Europski matematički kup 2015. juniori 4

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut. Neka su $B', A'$ točke na simetralama dužina $\overline{AC},\overline{BC}$ redom takve da je $B'A \perp AB$ i $A'B \perp AB$ . Neka je $P$ točka na stranici $\overline{AB}$ i neka je $O$ središte opisane kružnice trokutu $ABC$ . Neka su $D,E$ točke na pravcima $BC, AC$ redom takve da je $DP \perp BO$ i $EP \perp AO$ . Neka je $O'$ središte opisane kružnice trokuta $CDE$ . Dokaži da su točke $B'$ , $A'$ i $O'$ kolinearne.

(Steve Dinh)

Europski matematički kup 2015. seniori 1

Neka je $A=\{ a,b,c\}$ tročlani podskup skupa prirodnih brojeva. Dokaži da postoji podskup $B=\{ x,y \}$ skupa $A$ takav da je za sve neparne prirodne brojeve $m,n$ izraz $x^my^n - x^ny^m$ djeljiv s $10$ .

(Tomi Dimovski)

Europski matematički kup 2015. seniori 2

Dani su pozitivni realni brojevi $a,b,c$ takvi da je $abc=1$ . Dokaži da je $\frac{a+b+c+3}{4} \geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$

(Dimitar Trenevski)

Europski matematički kup 2015. seniori 3

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$ tako da $k_1$ prolazi točkom $O$ koja je središte kružnice $k_2$ . Pravac $p$ siječe $k_1$ u točkama $K$ i $O$ te $k_2$ u točkama $L$ i $M$ tako da je $L$ između točaka $K$ i $O$ . Točka $P$ je ortogonalna projekcija točke $L$ na pravac $AB$ . Dokaži da je pravac $KP$ paralelan s težišnicom trokuta $ABM$ povučenom iz točke $M$ .

(Matko Ljulj)

Europski matematički kup 2015. seniori 4

Grupa matematičara nalazi se na konferenciji. Kažemo da je matematičar $k$ -zadovoljan ako je u prostoriji s barem još $k$ ljudi kojima se on divi ili je u prostoriji s barem $k$ ljudi koji se dive njemu. Poznato je da su svi matematičari na konferenciji $3k+1$ -zadovoljni, ukoliko se svi nalaze u jednoj sobi prostoriji. Dokaži da je sve matematičare moguće podijeliti u dvije prostorije tako da nikoja prostorija nije prazna i tako da svi matematičari barem $k$ -zadovoljni. Diviti se nekome nije uzajamna relacija. Nitko se ne divi samome sebi.

(Matija Bucić)