2. ELMO

Lista Tekst Dva stupca
Zadaci

2. ELMO zadatak 1

ELMO

Dani su prirodni brojevi m i n. Ako je f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} funkcija takva da za svaki x \in \mathbb{N} vrijedi f^n(x) = m i da za sve različite x, y \in \mathbb{N} vrijedi x - y \mid f(x) - f(y) mora li vrijediti f(x) = m za sve x?

(Ivan Novak)

2. ELMO zadatak 2

ELMO

Neka je S konačan skup točaka u ravnini. Neka je \mathcal A(S) skup pravaca pridruženih skupu S takav da je za svaki p \in \mathcal{A}(S) suma kvadrata udaljenosti točaka iz S od p minimalna.

a) Ako je S osnosimetričan s obzirom na pravac l i nema točaka na l, mora li neki p \in \mathcal A(S) biti osnosimetričan s obzirom na l?

b) Ako je S centralnosimetričan s obzirom na točku T i ne sadrži T, mora li svaki p \in \mathcal A(S) biti centralnosimetričan s obzirom na T?

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 3

ELMO

Nađi sve funkcije f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} takve da f(x+f(y)+f(xy)) = f(x) + yf(x+1) za sve x, y \in \mathbb{R}.

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 4

ELMO

Dan je trokut ABC. Neka su M, N polovišta stranica \overline{AB}, \overline{AC}. Neka su X, Y točke na simetralama stranica \overline{AB}, \overline{AC} sa vanjske strane trokuta takve da 2|MX| = |AB| i 2|NY| = |AC|. Neka je Z nožište visine iz vrha A u trokutu ABC. Dokaži da kružnica opisana trokutu XYZ raspolavlja stranicu \overline{BC}.

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 5

ELMO

Na vezicama Merlinovih patika nalazi se n čvorova. Neki od čvorova su međusobno povezani. Odredi sve n\geqslant2 za koje je moguće da svaka 2 čvora A i B zadovoljavaju sljedeće uvjete: \begin{itemize} \item ako su $A$ i $B$ povezani, tada postoje točno $2$ čvora povezana i s $A$ i s $B$ \item ako $A$ i $B$ nisu povezani, tada postoji točno $1$ čvor povezan i s $A$ i s $B$. \end{itemize}

(Ivan Novak)