1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Riješi jednadžbu $1 + x_1 + 2x_1x_2 + \cdots + (n-1)x_1 x_2\cdots x_{n-1} = x_1 x_2 \cdots x_n$ za različite prirodne brojeve $x_1 ,x_2 ,...,x_n$ .

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Dan je trokut $\triangle ABC$ s ortocentrom $H$ . Neka je $M$ polovište stranice $BC$ , a $D$ drugo sjecište pravca $AM$ i opisane kružnice $ABC$ . Neka je $E$ centralno simetrična slika točki $D$ s obzirom na $M$ .

Dokažite da je pravac $HE$ okomit na pravac $AM$ .

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Na ploči je napisano 2020 prirodnih brojeva. Svaku minutu, na ploču dopišemo novi red brojeva na sljedeći način. Ispod svakog broja $a$ u prethodnom redu napišemo broj $f(a)$ gdje $f(a)$ predstavlja broj pojavljivanja broja $a$ u prethodnom redu. Dokažite da ćemo u nekom trenutku, jedan za drugim, napisati isti red brojeva.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Pronađite sve realne brojeve $a$ i $b$ koji zadovoljavaju relaciju $2(a^2 +1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1).$

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Za koje prirodne brojeve $m$ i $n$ se pravokutnik dimenzija $m \times n$ može popločati (bez preklapanja) figurama sastavljenih od jediničnih kvadrata kao na slici?

$Attachment #1$

Figure se ne mogu rotirati ili zrcaliti.