Teleskopiranje (teža grupa)

Zadaci

Teleskopiranje (Uvod)

U ovom predavanju otkrit ćete kako pronaći "formule" po kojim se zbrajaju razni nizovi koji u nazivniku (a možda i brojniku) ovise o svojem indeksu (položaju u nizu).

Teleskopiranje je matematička metoda rješavanja algebarskih zadataka kojom se složeniji razlomci rastavljaju na jednostavnije razlomke (koji se tada u većini slučajeva skrate).

Lema (Rastav na linearne komponente) Svaki složeni razlomak može se rastaviti na linearne komponente. $\frac{1}{xy} = \frac{A}{x} + \frac{B}{y} \hspace{10mm} \text{(za neke } A, B \in \mathbb{R}\text{)}$

Primijetimo da lemu možemo prošiti induktivno i na razlomke s više komponenata u nazivniku (pa onda svaku možemo rastaviti). Također, nije nužno da je broj 1 u brojniku (onda možemo obje strane pomnožiti s nekim izrazom).

Teleskopiranje (Primjeri)

PRIMJER 1: Odredi zbroj: $\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots \dfrac{1}{99 \cdot 100}$ .

RJEŠENJE:

Zapišimo neki općeniti član tog niza: $\frac{1}{n \cdot (n+1)}$ . Taj razlomak želimo rastaviti na neke razlomke $\frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$ . Rješavanjem sustava jednadžbi za konkretne vrijednosti $n$ (npr. $n=1$ i $n=2$ ) dobivamo $A=1$ , $B=-1$ . Sada samo trebamo izračunati zbroj: $\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots \dfrac{1}{99 \cdot 100} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

PRIMJER 2: Neka je $n \in \mathbb{N}$ takav da je $n>10$ . Izračunaj sljedeći umnožak: $\frac{2^2-1}{2^2+3\cdot 2+2} \cdot \frac{3^2-1}{3^2+3\cdot 3+2} \cdot \ldots \cdot \frac{n^2-1}{n^2+3n+2} = \prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2+3k+2}$

RJEŠENJE:

Primijetimo da za svaki $k \in \mathbb{N}$ vrijedi $\frac{k^2-1}{k^2+3k+2} = \frac{(k-1)(k+1)}{(k+1)(k+2)} = \frac{k-1}{k+2}$ Sada je naš umnožak jednak $\frac{2-1}{2+2}\cdot \frac{3-1}{3+2} \cdot \frac{4-1}{4+2}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n+2} = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{6}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n+2}$ Primijetimo da će se pokratiti svi brojnici i nazivnici koji su veći od $3$ i manji od $n$ , tako da ostaje $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{6}{n(n+1)(n+2)}$

OPREZ: Uvjet $n>10$ nam je trebao da ne bismo imali preklapanja brojeva koji se nisu pokratili.
Na primjer, za $n=3$ ne postoje brojnici niti nazivnici koji su veći od $3$ i manji od $n$ , pa
treba zasebno argumentirati takav slučaj.