Školjka

%V0 Zadana je funkcija $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $$f(x) = x^2 + (a + 1)x + 1 \quad a \in \mathbb{R} \text{.}$$ $a)$ Odredite $a$ tako da bude $\left| \dfrac{f(x)}{x^2+x+1} \right| < 3$, za svaki $x \in \mathbb{R}$. $b)$ Odredite uvjete uz koje je graf funkcije $y = |f(x)|$ parabola. $c)$ Nađite geometrijsko mjesto tjemena svih parabola $y = |f(x)|$. Nacrtajte sliku!

%V0 U točkama parabole $y^{2} = 12x$ s ordinatama $2, 6, -3$ povučene su tangente. Koliki je omjer površina trokuta kojeg tvore te tri točke i trokuta kojeg tvore sjecišta tangenata na parabolu u tim točkama?

%V0 Točka $(0,3)$ je na paraboli $f(x)=x^2+px+q$. Tangenta parabole u toj točki ima koeficijent smjera $k=-1$. Odredite njezinu jednadžbu.

%V0 Zadana je elipsa s jednadžbom $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$. Dokaži da sva sjecišta po dvije međusobno okomite tangente ove elipse leže na istoj kružnici.

%V0 Dana je elipsa čija je jednadžba $x^2+4y^2=36$. Kružnica $k$ ima središte u točki $(0,3)$ i prolazi žarištima dane elipse. Odredi sva sjecišta kružnice $k$ s elipsom.

%V0 Jedno od žarišta (fokusa) elipse $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ je žarište parabole $y^2=2px$, a pravac $3x-5y+25=0$ je njihova zajednička tangenta. Dokaži da je trokut kojeg određuju zajedničko žarište i dva dirališta tangente pravokutan.