Školjka

%V0 Razlika recipročnih vrijednosti dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je $0.0aaa\dots=0.0\dot{a}$. Koje vrijednosti može poprimiti znamenka $a$?

%V0 Tri različita realna broja, različita od nule, čine aritmetički niz, a njihovi kvadrati u istom poretku čine geometrijski niz. Odredi sve moguće vrijednosti kvocijenta tog geometrijskog niza.

%V0 Neka je $(x_n)_{n \in \mathbb{N} }$ niz realnih brojeva različitih od nule takav da vrijedi $$ {x_n}^2-x_{n+1}x_{n-1}=1,\qquad \forall n\geq 2. $$ Dokaži da izraz $\dfrac{x_{n+1}+x_{n-1}}{x_n}$ poprima istu vrijednost za svaki $n\geq 2$.

%V0 Prvi član aritmetičkog niza $(a_n)$, kojem su svi članovi prirodni brojevi, je $a_1=1$. Broj $4=2^2$ jest, a $2$ nije član tog niza. $a)$ Dokažite da postoji jedan i samo jedan takav niz. Napišite njegov opći član. $b)$ Pokažite da je kvadrat svakog prirodnog broja, koji nije djeljiv s $3$, član tog niza. $c)$ Provjerite da su brojevi $ 2002 $ i $ 2002^2 $ članovi tog niza. Odredite njihove indekse. $d)$ Obrazložite zaključak: kvadrat svakog člana niza je član niza. Vrijedi li obrat, tj. ako je kvadrat nekog broja član tog niza, onda je i taj broj član niza.

%V0 Niz $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $\dots$ definiran je ovako: $$$\begin{align*} a_1&=1, \\ a_n&= \dfrac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}),\quad n>1. \end{align*}$$$ Odredite $a_{1999}$.

%V0 Zadana su prva tri člana geometrijskog niza $1$, $q$, $q^2 \quad (q > 0$, $q \neq 1)$. $(a)$ Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ tako da kvadrati brojeva $1-x$, $q-x$, $q^2-x$ čine aritmetički niz, a zatim ispitajte predznak od $x$ za razne vrijednosti $q.$ $(b)$ Izrazite razliku tog aritmetičkog niza kao funkciju od $q$. Koji uvjet zadovoljava $q$ ako je ovaj niz rastući?