Državno natjecanje 2005 SŠ2 2
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Središte
![U](/media/m/d/f/a/dfa3ccb1bb2d14869d77a98d0d2baf97.png)
upisane kružnice trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su
![O_1, O_2](/media/m/f/8/6/f86e91464bd9fee950bb9c887390edf6.png)
i
![O_3](/media/m/2/3/d/23d0bb677f9995d374d36fd8dad00f99.png)
središta kružnica opisanih trokutima
![BCU](/media/m/8/4/5/845e4d6ad5e02b35269eb28c01d964d8.png)
,
![CAU](/media/m/b/5/1/b516be7f493b4f82d5f4a6b2487c87d0.png)
i
![ABU](/media/m/1/5/5/1559d01adf12d8bb40a83ab1f38d3378.png)
. Dokažite da kružnice opisane trokutima
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
i
![O_1O_2O_3](/media/m/4/4/3/443934ce39a121d52c2fff6eb929af63.png)
imaju zajedničko središte.
%V0
Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1, O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2005