Slični zadaci

Državno natjecanje 1996 SŠ3 2

Neka su $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ duljine visina trokuta $ABC$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ , redom, a $u$ , $v$ , $w$ udaljenosti točke $M$ iz unutrašnjosti trokuta od stranica $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Dokažite:

$\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$
$h_1h_2h_3 \geq 27uvw,$
$(h_1-u)(h_2-v)(h_3-w) \geq 8uvw.$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ2 3

Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ . Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D$ , $E$ , $F$ , a udaljenosti točaka $D$ , $E$ , $F$ od pravaca $AB$ , $BC$ , $CA$ redom sa $d_a$ , $d_b$ , $d_c$ . Dokažite nejednakost $\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geqslant \frac32 \text{.}$

Državno natjecanje 2000 SŠ3 1

Dane su točke $B$ i $C$ , dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$ , a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$ . Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$ .

Državno natjecanje 2004 SŠ3 2

Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost
$\frac{\cos\alpha}{a^3} + \frac{\cos\beta}{b^3} + \frac{\cos\gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc}$
pri čemu su $a, b, c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha, \beta, \gamma$ odgovarajući kutovi.

Državno natjecanje 2006 SŠ3 2

U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$ . Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$ , te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$ . Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$ .

Državno natjecanje 2011 SŠ3 3

U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$ . Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$ , a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$ , odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$ .

Županijsko natjecanje 2011 SŠ3 3

Dan je trokut $ABC$ . Simetrala kuta $\angle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ , a simetrala kuta $\angle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $E$ . Ako je $\angle ACB \ge 60^\circ$ , dokaži da je $|AE|+|BD|\le |AB|$ .