Neka je
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
šiljastokutan trokut s polumjerom opisane kružnice
![R=1](/media/m/c/5/f/c5f05d5dc659e99b4eb9a373dbc28798.png)
i polumjerom upisane kružnice
![r](/media/m/3/d/f/3df7cc5bbfb7b3948b16db0d40571068.png)
. Nadalje,
![A'](/media/m/9/2/6/9267b8bcabe1ad2df0d51dab3364714b.png)
,
![B'](/media/m/a/1/a/a1a88eb7f35fee4f41c66bfb0c902f51.png)
,
![C'](/media/m/0/0/1/001d1a1af4c90ceda662e79e88845742.png)
su nožišta visina trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
, a
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
je polumjer trokutu
![A'B'C'](/media/m/5/3/d/53d1d147ad89bd52a7038ce57a0957ef.png)
upisane kružnice. Dokažite da je
%V0
Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut s polumjerom opisane kružnice $R=1$ i polumjerom upisane kružnice $r$. Nadalje, $A'$, $B'$, $C'$ su nožišta visina trokuta $ABC$, a $p$ je polumjer trokutu $A'B'C'$ upisane kružnice. Dokažite da je
$$ p \leq 1 - \frac{1}{3} (1+r)^2.$$