Slični zadaci

skakavac 2012 drugo kolo ss3 2

Zadan je jednakostraničan trokut. Dozvoljeni potez je da pravcem presiječemo trenutni lik na dva dijela, "okrenemo" jedan od nastalih dijelova i ponovo ”zalijepimo”. (npr. ako to napravimo po visini jednakostraničnog trokuta stranice $a$ , dobit ćemo paralelogram stranica $a, \frac{a}{2}$ i kutom od $60^{\circ}$ ) Možemo li nizom takvih poteza iz trokuta dobiti kvadrat? Ako da - pokaži kako, ako ne - dokaži!

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1994 SŠ3 4

U ravnini je dano pet točaka $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ , $P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i,\,P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$ .

Državno natjecanje 2000 SŠ3 1

Dane su točke $B$ i $C$ , dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$ , a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$ . Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$ .

Županijsko natjecanje 1997 SŠ3 2

U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ( $D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ ). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4

Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$ , točke $T_a$ , $T_b$ , $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Ako je $f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Županijsko natjecanje 2006 SŠ3 5

U Sunčevom sustavu otkriven je novi planet! Dakle, oko Sunca kruži $10$ planeta. Dokaži da se u svakom trenutku na površini Sunca može pronaći točka iz koje su vidljiva najviše $4$ planeta. (Općepoznata pretpostavka je da svi planeti i Sunce imaju oblik kugle te da svaki planet ima manji polumjer od Sunca. Druga saznanja o planetama molimo ne koristiti.)

Zelene točke

U ravnini $M$ dano je $n$ zelenih i $n$ plavih točaka tako da nikoje tri nisu kolinearne. Ili dokaži ili opovrgni: uvijek postoji skup $S$ koji sadrži $n$ dužina s raznobojnim krajnjim točkama tako da se nikoje dvije dužine ne sijeku.