Slični zadaci

Općinsko natjecanje 2011 SŠ2 6

Neka su $a$ , $b$ i $c$ tri različita realna broja od kojih niti jedan nije jednak nula. Promatramo kvadratne jednadžbe: $a x^2 + b x + c= 0, \quad b x^2 + c x + a= 0, \quad c x^2 + a x + b= 0.$
Ako je $\dfrac{c}{a}$ rješenje prve jednadžbe, dokaži da sve tri jednadžbe imaju zajedničko rješenje.
Odredi umnožak drugih triju rješenja tih jednadžbi (ne-zajedničkih).

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Općinsko natjecanje 1995 SŠ2 2

Dokažite da jednadžba $x^{2} - (a + c)x + ac - b^{2} = 0$ ima realne korijene $x_{1}$ i $x_{2}$ za bilo koje realne koeficijente $a$ , $b$ i $c$ te da su $a$ i $c$ korijeni jednadžbe $(y - x_{1})(y - x_{2}) + b^{2} = 0$ .

Općinsko natjecanje 1996 SŠ2 2

Odredite brojeve $p$ i $q$ , ako je poznato da je razlika korijena jednadžbe $x^2+px+q=0$ jednaka $5$ , a razlika njihovih kubova $35.$

Općinsko natjecanje 1997 SŠ2 2

Ako su koeficijenti $a$ , $b$ , $c$ takvi da je $a > 0$ i $b > a + c$ , dokažite da jednadžba $ax^2 + bx + c = 0$ ima dva različita rješenja.

Općinsko natjecanje 2000 SŠ2 2

Neka je $a+b+c>0$ i neka jednadžba $ax^2+bx+c=0$ nema realnih rješenja. Dokažite da je $c>0$ .

Općinsko natjecanje 2007 SŠ2 4

Odredi sve realne parametre $m$ za koje funkcija $f(x)=x^2+(m+3)x+(m+2)$ zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

$a)$ $f(x)<0$ za sve $x\in \left< -1,3 \right>$ ;
$b)$ zbroj recipročnih vrijednosti nultočaka manji je od $\dfrac 13$ .

Općinsko natjecanje 2010 SŠ2 2

Dane su dvije kvadratne jednadžbe $x^2+ax+1=0, \qquad x^2+x+a=0.$ Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje te jednadžbe imaju barem jedno zajedničko rješenje.